Función matemática

Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una.

En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada

$f colon X to Y ,$

que cumple con las siguientes dos condiciones:

Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir, $forall xin X, exists yin Y backslash (x,y)in f.$
Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si $(x,y_1)in f and (x,y_2)in f Rightarrow y_1 = y_2.$

Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento $xin X$ con un (y sólo un) $yin Y$ se denota $f(x)=y,$ , en lugar de $(x,y)in f.$

Para toda función $f colon X to Y ,$ podemos definir:

Dominio

El dominio de $f,$ es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota ${rm Dom}_f,$ o bien $D_f,$ y está definido por:

$D_f = ; left{x in X ; : ; exists y in Y, ; f(x)=yright}$

Recorrido o codominio

El recorrido o conjunto de llegada de $f,$ es el conjunto $Y,,$ y se denota $Rec_f,$ o bien $C_f.,$

Rango

El rango de $f,$ está formada por los valores que alcanza la misma. Es el conjunto de todos los objetos transformados, se denota $Ran_f,$ o bien $R_f,$ y está definida por:

$R_f = left{y in Y ; backslash ; exists x in X, ; f(x)=yright}$

Preimagen

Una preimagen de un $yin Y$ es algún $xin X$ tal que $f(x)=y,.$

Note que $D_f = X,$ , y que algunos elementos del recorrido pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. En efecto, puede darse que $exists y in Y$ tal que $forall x in X, ; f(x)neq y.$

Ejemplos

La función definida por $f(x)=x+1,$ , tiene como dominio e imagen todos los números reales $(mathbb{R}).$

Función con Dominio X y Codominio Y

Para la función $g(x)=x^2,$ , en cambio, si bien su dominio es $mathbb{R}$ , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

En la figura se puede apreciar una función $f colon X to Y ,$ , con

$Dom_f = X = {1, 2, 3,4} ,$

$Rec_f = ; Y = {a, b, c, d } ,$

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el

1

y el

4

). Finalmente,

$Im_f = {b, c, d}subseteq Y.$

Esta función representada como relación, queda: $Xtimes Y = {(1,b), (2,c), (3,d), (4,b) }$

Representación de funciones

Las funciones se pueden representar de distintas maneras:

Como expresión matemática: ecuaciones de la forma $y = f (x)$ , que permiten representar el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.

Ejemplo: y=x+2.

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

X| -2 -1  0  1  2  3
   Y|  0  1  2  3  4  5

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

Como gráfica: gráfica que permite visualizar tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5						X
4					X
3				X
2			X
1		X
0	X
y / x	-2	-1	0	1	2	3

Funciones según tipo de aplicación

Dados dos conjuntos X e Y, podemos clasificar a todas las funciones $f colon X to Y ,$ definidas entre ellos, en:

Función inyectiva
Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,

$forall x_1,x_2 in X : f(x_1) = f(x_2) rarr x_1 = x_2,$ o lo que es lo mismo,

$forall x_1,x_2 in X : x_1 neq x_2 rarr f(x_1)neq f(x_2)$

Función sobreyectiva Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen $Im_f=Y,$ . Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,

$forall yin Y : exists xin X, f(x) = y$

Estas funciones también se conocen como exhaustivas o epiyectivas.

Función biyectiva Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,

$forall yin Y : exists ! xin X, f(x) = y$

Ejemplos

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva, no inyectiva

Álgebra de las funciones
Composición de funciones Dadas dos funciones f: A → B y g: B → C, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): A → C como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

$A to ,,B;; to ;;,C$

$x mapsto f(x) mapsto g(f(x))$

Función identidad

Dado un conjunto $, A ,$ , la función $; e_A colon A to A ,$ que asigna a cada $x ,$ de $A ,$ el mismo $x ,$ de $A ,$ se denomina función identidad o función unitaria.

$e_A = left{(x, x)mid x in A right}$

Dada cualquier función $g colon A to B ,$ , es claro que $e_Bcirc f colon A to B ,$ es igual a $f,$ y que $fcirc e_A colon A to B ,$ es también igual a $f,$ , puesto que para todo $x ;; f(e_A(x))=f(x)$ y también $;; e_B(f(x))=f(x)$

$; e_B circ f = f circ e_A = f ;$

Función inversa
Dada una función $f colon A to B ,;$ , se denomina función inversa de $f ;$ , $f^{-1} colon B to A ,$ a la función que cumple la siguiente condición:

$; f^{-1} circ f = e_A ;$

$; f circ f^{-1} = e_B ;$

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación $f^{-1} ;$ , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la existencia de $f^{-1} ;$ es que $f ;$ sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones

Existe función inversa de $f ;$ y
$f ;$ es biyectiva

son lógicamente equivalentes.

El grupo de las funciones biyectivas

Considerando todas las funciones biyectivas $f colon , A to A$ , las conclusiones del apartado anterior pueden resumirse en:

Dadas tres funciones la operación de composición es asociativa: $(f_i circ f_j) circ f_k = f_i circ (f_j circ f_k) ,$
$exists e_A colon , A to A ,$ tal que $forall fcolon A to A$ tenemos $fcirc e_A = e_A circ f = f$
$forall f colon , A to A , exists f^{-1} colon , A to A mid f^{-1} circ f = fcirc f^{-1} = e_A$

Estas tres condiciones determinan un grupo. El conjunto de las funciones biyectivas $A to A$ es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones y recibe el nombre de grupo simétrico de $A,$ .

Función matemática

Dominio

Recorrido o codominio

Rango

Preimagen

Ejemplos

Representación de funciones

Funciones según tipo de aplicación

Función inyectiva Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,

Función sobreyectiva Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen . Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,

Función biyectiva Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,

Ejemplos

Álgebra de las funciones Composición de funciones Dadas dos funciones f: A → B y g: B → C, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): A → C como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

Función identidad

Función inversa Dada una función , se denomina función inversa de , a la función que cumple la siguiente condición:

El grupo de las funciones biyectivas

Función inyectiva
Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,

Función sobreyectiva Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen $Im_f=Y,$ . Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,

Álgebra de las funciones
Composición de funciones Dadas dos funciones f: A → B y g: B → C, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): A → C como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

Función inversa
Dada una función $f colon A to B ,;$ , se denomina función inversa de $f ;$ , $f^{-1} colon B to A ,$ a la función que cumple la siguiente condición: