UNIDAD 2:

Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos . El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
Conceptos básicos [editar]

Diagrama de Venn que muestra un conjunto

A

contenido en otro conjunto

U

y su diferencia $A^complement$

El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo simplemente como una colección de objetos, así podemos hablar de un conjunto de personas, ciudades, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de un bolígrafo podemos saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no esta bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.

En el siglo XIX segun Frege; los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC, sin embargo sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.

Georg Cantor

El diagrama que muestra el contenido a mano izquierda son los Diagramas de Venn que son representaciones usadas únicamente para la TEORÍA DE CONJUNTOS, estos muestran las relaciones entre diferentes gupos de cosas representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo

Notación
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: $A$ , $B$ , $K$ ,...

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: $a$ , $b$ , $k$ ,...

De esta manera, si $~A$ es un conjunto, y $~a, b, c, d, e$ todos sus elementos, es común escribir:

$~A= {a, b, c, d, e}$

para definir a tal conjunto $~A$ . Esta notación empleada para definir al conjunto $~A$ se llama notación por extensión

Para representar que un elemento $~x$ pertenece a un conjunto $A$ , escribimos $xin A$ (léase " $x$ en $A$ ", " $x$ pertenece a $A$ " o bien " $x$ es un elemento de $A$ "). La negación de $xin A$ se escribe $xnotin A$ (léase $~x$ no pertenece a $~A$ ).

El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra $U$ (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces $U$ es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, $U$ es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.

Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por $emptyset$ . Es decir

$emptyset = {}$

La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles no están contenidos en él, es decir

$forall x quad xnotinemptyset$ .

Por otro lado, si todos los elementos $~x$ de un conjunto $A$ satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición $pleft( xright)$ , con la indeterminada $~x$ , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:

$~A={xin U:p(x)}$

Lo anterior se lee " $A$ es el conjunto de elementos $x$ , que cumplen la propiedad $p (x)$ ". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tales que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra $mid$ .

Por ejemplo, el conjunto $~A= {1, 2, 3, 4}$ puede definirse por:

$~A= {ninmathbb N: 1leq nleq 4}$

donde el símbolo $mathbb{N}$ representa al conjunto de los números naturales.

El uso de algún conjunto $U$ es muy importante, ya que de no hacerlo se podría caer en contradicciones como ejemplo

$M={x:xnotin x}$

Es decir, $M$ es el conjunto donde cada elemento $x$ satisface la propiedad $xnotin x$ . Al principio uno podría creer que ningún conjunto puede estar contenido en sí mismo y que por lo tanto $M$ no contiene elemento alguno; sin embargo, en vista de que $M$ es un conjunto, cabe hacer la pregunta "¿ $Min M$ ?" Si la respuesta es negativa ( $Mnotin M$ ) entonces $M$ cumple la propiedad $xnotin x$ y por lo tanto $Min M$ . Si por el contrario la respuesta es afirmativa ( $Min M$ ), entonces $M$ no cumple con la propiedad $xnotin x$ y por esta razón $Mnotin M$ . Esta paradoja es muy famosa y se conoce como la paradoja del barbero esta es una de las tantas incongruencias que tenía la teoría de Cantor.

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos
Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos $~A$ y $~B$ se dicen iguales, lo que se escribe $~A = B$ si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de $A$ está también contenido en $B$ y todo elemento de $B$ está contenido en $A$ . En símbolos:

$xin Aiff xin B$

Subconjuntos y Superconjuntos

Diagrama de Venn que muestra $Asubseteq B$

Un conjunto $~A$ se dice que es subconjunto de otro $~B$ , si cada elemento de $~A$ es también elemento de $~B$ , es decir, cuando se verifique:

$xin ARightarrow xin B$ ,

sea cual sea el elemento $~x$ . En tal caso, se escribe $Asubseteq B$ .

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si $Asubseteq B$ , se cumpla $A = B,$ . Si $~B$ tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto $~A$ , pero si todo elemento de $~A$ es elemento de $~B$ , entonces decimos que $~A$ es un subconjunto propio de $~B$ , lo que se representa por $Asubset B$ . En otras palabras, $Asubset B$ si y sólo si $Asubseteq B$ , y $Bsetminus Ane emptyset$ . Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto $A$ es subconjunto impropio de sí mismo.

Si $~A$ es un subconjunto de $~B$ , decimos también que $~B$ es un superconjunto de $~A$ , lo que se escribe $Bsupseteq A$ . Así pues

$Bsupseteq Aiff Asubseteq B$ ,

y también que:

$Bsupset Aiff Asubset B$ ,

significando $Bsupset A$ que $~B$ es superconjunto propio de $~A$ .

Por el principio de identidad, es siempre cierto $xin ARightarrow xin A$ , para todo elemento $~x$ , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.

Vemos que $subseteq$ es una relación de orden sobre un conjunto $~S$ de conjuntos, pues

$Asubseteq A$			( $subseteq$ es reflexiva)
$Asubseteq Bwedge Bsubseteq A$	$qquadRightarrowqquad$	$A=B ,$	( $subseteq$ es antisimétrica)
$Asubseteq Bwedge Bsubseteq C$	$qquadRightarrowqquad$	$Asubseteq C$	( $subseteq$ es transitiva)

Operaciones de conjuntos

Sean $~A$ y $~B$ dos conjuntos.

Unión

Diagrama de Venn que ilustra $Acup B$

Para cada par de conjuntos $A$ y $B$ existe un conjunto que se denota como $Acup B$ el cual contiene todos los elementos de $A$ y de $B$ . De manera más general, para cada conjunto $S$ existe otro conjunto denotado como $bigcup S$ de manera que sus elementos son todos los $xin X$ tales que $Xin S$ . De esta manera $Acup B$ es el caso especial donde $S={A,B~}$ .

Es claro que el hecho de que un elemento $x$ pertenezca a $Acup B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que $x$ es un elemento de $A$ o al menos de $B$ . Es decir

$xin(Acup B)iff(xin A)vee(xin B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= {triangle, bigcirc, 6}$

$~B= {star, 6, dagger, square}$

$~C= {square, 14, star, clubsuit}$

$~S={A,B,C}$

Entonces

$Acup B = {triangle,bigcirc,6,star,dagger,square}$

$Acup C = {triangle,bigcirc,6,square,14,star,clubsuit}$

$bigcup S={triangle,bigcirc,6,star,dagger,square,14,clubsuit}$

$~A cup emptyset= A$

$~A cup A = A$

Intersección

Diagrama de Venn que ilustra $Acap B$

Los elementos comunes a $~A$ y $~B$ forman un conjunto denominado intersección de $~A$ y $~B$ , representado por $Acap B$ . Es decir, $Acap B$ es el conjunto que contiene a todos los elementos de $A$ que al mismo tiempo están en $B$ :

$Acap B = {xin A:xin B}$ .

Si dos conjuntos $~A$ y $~B$ son tales que $Acap B =emptyset$ , entonces $~A$ y $~B$ se dice que son conjuntos disjuntos.

Es claro que el hecho de que $xin Acap B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que $xin A$ y $xin B$ . Es decir

$xin(Acap B)iff (xin A)wedge(xin B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= {2, 4, 6}$

$~B= {4, 6, 8, 10}$

$~C= {10, 14, 16, 26}$

Entonces:

$Acap B = {4,6}$

$Acap C = emptyset$

$Acap emptyset = emptyset$

$Acap A = A$

Diferencia

Diagrama de Venn que muestra

A - B

Diagrama de Venn que muestra

B - A

Los elementos de un conjunto $~A$ que no se encuentran en otro conjunto $~B$ , forman otro conjunto llamado diferencia de $~A$ y $~B$ , representado por $~Asetminus B$ . Es decir:

$Asetminus B= {xin A:xnotin B}$ .

o dicho de otra manera:

$xin(Asetminus B)iff (xin A) wedge (xnotin B)$

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de $A~$ y $B~$ como $A-B~$ .

Una propiedad interesante de la diferencia es que

$Acap B=Asetminus(Asetminus B)$

eso es porque

$begin{array}{rcl} xin Acap B & iff & (xin A) wedge (xin B)\ &iff& (xin A) wedge (xnotin Asetminus B)\ &iff& xin Asetminus (Asetminus B) end{array}$

Ejemplos: Sin importar cual conjunto $A$ elija usted, siempre se cumple

$Asetminusemptyset = A$

$emptysetsetminus A = emptyset$

${0,1,2,3}setminus{3,2}={0,1}$

Complemento

El complemento de un conjunto $A$ , es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto $U$ pero no pertenecen a $A$ , que lo representaremos por $A^complement$ . Es decir

$A^complement=Usetminus A$

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

En vista de que $Asubseteq U$ y $Bsubseteq U$ , entonces

$xin left (Asetminus Bright) iff xin left(Acap B^complementright)$ ,

de manera que

$Asetminus B=Acap B^complement$

Pero también

$begin{array}{rcl} xin left (Acap B^complementright ) & iff & xin A wedge xin B^complement )\ &iff& xin B^complement wedge xin A\ &iff& xin B^complement wedge xnotin A^complement\ &iff& x inleft (B^complementsetminus A^complementright) end{array}$

de modo que

$~Asetminus B = left (B^complementsetminus A^complementright)$

Diferencia simétrica

Los elementos de dos conjuntos,A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.

$BDelta A = left (Bsetminus Aright )cupleft (Asetminus Bright )$

Álgebra de conjuntos

Sean $A$ , $B$ , y $C$ conjuntos cualesquiera y $U$ un conjunto tal que $Asubseteq U$ , $Bsubseteq U$ y $Csubseteq U$ entonces:

$A cap A = A,$
$A cup A = A$
$A cap empty = empty$
$A cup empty = A$ Elemento neutro de la unión
$A cap U = A$ Elemento neutro de la intersección
$A cup U = U$
$A cap B = B cap A$ Propiedad conmutativa de la intersección
$A cup B = B cup A$ Propiedad conmutativa de la unión
$left(A^complementright)^complement = A$ Propiedad de Involución.
$(A cap B) cap C = A cap (B cap C)$ Propiedad asociativa de la intersección
$(A cup B) cup C = A cup (B cup C)$ Propiedad asociativa de la unión
$A cap (B cup C) = (A cap B) cup (A cap C)$ Propiedad distributiva de la intersección
$A cup (B cap C) = (A cup B) cap (A cup C)$ Propiedad distributiva de la unión
$A subseteq B iff A cap B = A$
$A subseteq B iff A cup B = B$
$A subseteq B iff B^complement subseteq A^complement$
$A cap B subseteq A subseteq A cup B$

$C setminus (A cap B) = (C setminus A) cup (C setminus B)$
$C setminus (A cup B) = (C setminus A) cap (C setminus B)$
$C setminus (B setminus A) = (A cap C) cup (C setminus B)$
$(B setminus A) cap C = (B cap C) setminus A = B cap (C setminus A)$
$(B setminus A) cup C = (B cup C) setminus (A setminus C)$
$A subseteq B iff A setminus B = empty$
$A cap B = empty iff B setminus A = B$
$A setminus A = empty$
$empty setminus A = empty$
$A setminus empty = A$
$A setminus B = A cap B^complement$
$(B setminus A)^complement = A cup B^complement$
$U setminus A = A^complement$
$A setminus U = empty$

Producto cartesiano de conjuntos o producto cruz

Un par ordenado de números $left (x, yright )$ es tal si los pares $left (x, yright )$ y $left (y, xright )$ son uno mismo si y sólo si $~x = y$ .

Dados dos conjuntos $~A$ y $~B$ , definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de $~A$ y $~B$ (en ese orden), representado por $~Atimes B$ , como el conjunto

$~Atimes B = {(x,y)midquad xin Aquadwedgequad yin B}$

Ejemplo: Sean $~S = {1, 2, 3}$ y $~R = {a, b, c}$ . Así,

$~Stimes R = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)}$

Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resulta

$~Atimes B = Btimes AqquadLeftrightarrowqquad A = B$

Cuantificadores

Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son

El cuantificador universal, representado por $forall$ . Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe

$forall_{xin A}quad p(x)$

El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto $~A$ cumple con una propiedad. Se escribe

$exist_{xin A}quad p(x)$ .

Se definen

$neg(forall_{xin A}quad p(x))iffexist_{xin A}quadneg p(x)$

$neg(exist_{xin A}quad p(x))iffforall_{xin A}quadneg p(x)$

Funciones

Sean $~A$ y $~B$ dos conjuntos. Un subconjunto $fsubset Atimes B$ , se dice aplicación o función de $~A$ en $~B$ , lo que se representa por

$f:Arightarrow B$

siempre que se verifique

$forall_{xin A}exist_{yin B}quad (x,y)in f$
$(x,y)in f wedge (x,y^prime)in f Rightarrow y=y^prime$

Si $(x,y)in f$ , el elemento $~y$ se dice imagen de $~x$ por $~f$ , y el elemento $~x$ se llama antecedente de $~y$ por $~f$ .

Sea una función $f:Arightarrow B$ . Se emplea la notación $~f(x)$ para representar a la imagen de $xin A$ por $~f$ , y por tanto $f(x)in B$ .

Sean las funciones $f:Xrightarrow f(X)$ y $g:Yrightarrow g(X)$ . Se define

$fcirc g:quad xrightarrow f(g(x))$ ,

y se dice que $fcirc g$ es el producto de composición de las funciones $~f$ y $~g$ .

Vemos que $fcirc (gcirc h)(x)=(gcirc h)(f(x))=hleft [g(f(x))right ],$

$left [(fcirc g)circ hright ](x)=hleft [ (fcirc g)(x)right ]=hleft [g(f(x))right ],$

por lo que

$f(gcirc h)=(fcirc g)circ h$

Teoría de conjuntos

Notación Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos Igualdad de conjuntos Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos: